Algèbre linéaire Exemples

(3) ⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 260 & 1 & 1 255 & 3 & 0 435 & 1 & 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$(3) [\begin{array}{c} 260 & 1 & 1 \\ 255 & 3 & 0 \\ 435 & 1 & 4 \end{array}]$

Étape 1

Multipliez

3

$3$ par chaque élément de la matrice.

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 3 \cdot 260 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 1 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 3 \cdot 260 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2

Simplifiez chaque élément dans la matrice.

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Étape 2.1

Multipliez

3

$3$ par

260

$260$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 780 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 1 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 780 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2.2

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 780 & 3 & 3 \cdot 1 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2.3

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 780 & 3 & 3 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 3 \cdot 255 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2.4

Multipliez

3

$3$ par

255

$255$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 780 & 3 & 3 765 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 3 \cdot 3 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2.5

Multipliez

3

$3$ par

3

$3$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 780 & 3 & 3 765 & 9 & 3 \cdot 0 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2.6

Multipliez

3

$3$ par

0

$0$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 780 & 3 & 3 765 & 9 & 0 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 0 \\ 3 \cdot 435 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2.7

Multipliez

3

$3$ par

435

$435$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 780 & 3 & 3 765 & 9 & 0 1305 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 0 \\ 1305 & 3 \cdot 1 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2.8

Multipliez

3

$3$ par

1

$1$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 780 & 3 & 3 765 & 9 & 0 1305 & 3 & 3 \cdot 4 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 0 \\ 1305 & 3 & 3 \cdot 4 \end{array}]$

Étape 2.9

Multipliez

3

$3$ par

4

$4$ .

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 780 & 3 & 3 765 & 9 & 0 1305 & 3 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 0 \\ 1305 & 3 & 12 \end{array}]$

⎡ ⎢ ⎣ \begin{matrix} 780 & 3 & 3 765 & 9 & 0 1305 & 3 & 12 \end{matrix} ⎤ ⎥ ⎦

$[\begin{array}{c} 780 & 3 & 3 \\ 765 & 9 & 0 \\ 1305 & 3 & 12 \end{array}]$

Étape 3

Choose the row or column with the most

0

$0$ elements. If there are no

0

$0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row

2

$2$ by its cofactor and add.

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Étape 3.1

Consider the corresponding sign chart.

∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} + & - & + - & + & - + & - & + \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Étape 3.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a

-

$-$ position on the sign chart.

Étape 3.3

The minor for

a_{21}

$a_{21}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

1

$1$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 3 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} |$

Étape 3.4

Multiply element

a_{21}

$a_{21}$ by its cofactor.

- 765 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 3 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 765 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} |$

Étape 3.5

The minor for

a_{22}

$a_{22}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

2

$2$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} |$

Étape 3.6

Multiply element

a_{22}

$a_{22}$ by its cofactor.

9 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} |$

Étape 3.7

The minor for

a_{23}

$a_{23}$ is the determinant with row

2

$2$ and column

3

$3$ deleted.

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 3 \end{array} |$

Étape 3.8

Multiply element

a_{23}

$a_{23}$ by its cofactor.

0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$0 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 3 \end{array} |$

Étape 3.9

Add the terms together.

- 765 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 3 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 9 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 765 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 3 \end{array} |$

- 765 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 3 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 9 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$- 765 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 3 \end{array} |$

Étape 4

Multipliez

0

$0$ par

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 3 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 3 \end{array} |$ .

- 765 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 3 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 9 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 765 | \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} | + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0$

Étape 5

Évaluez

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 3 & 3 3 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣

$| \begin{array}{c} 3 & 3 \\ 3 & 12 \end{array} |$ .

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Étape 5.1

Le déterminant d’une matrice

2 \times 2

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

∣ ∣ ∣ \begin{matrix} a & b c & d \end{matrix} ∣ ∣ ∣ = a d - c b

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

- 765 (3 \cdot 12 - 3 \cdot 3) + 9 ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} 780 & 3 1305 & 12 \end{matrix} ∣ ∣ ∣ + 0

$- 765 (3 \cdot 12 - 3 \cdot 3) + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0$

Étape 5.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez

$3$ par

$12$ .

$- 765 (36 - 3 \cdot 3) + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0$

Étape 5.2.1.2

Multipliez

$- 3$ par

$3$ .

$- 765 (36 - 9) + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0$

Étape 5.2.2

Soustrayez

$9$ de

$36$ .

$- 765 \cdot 27 + 9 | \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} | + 0$

Étape 6

Évaluez

$| \begin{array}{c} 780 & 3 \\ 1305 & 12 \end{array} |$ .

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Étape 6.1

Le déterminant d’une matrice

$2 \times 2$ peut être déterminé en utilisant la formule

$| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$- 765 \cdot 27 + 9 (780 \cdot 12 - 1305 \cdot 3) + 0$

Étape 6.2

Simplifiez le déterminant.

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

Multipliez

$780$ par

$12$ .

$- 765 \cdot 27 + 9 (9360 - 1305 \cdot 3) + 0$

Étape 6.2.1.2

Multipliez

$- 1305$ par

$3$ .

$- 765 \cdot 27 + 9 (9360 - 3915) + 0$

Étape 6.2.2

Soustrayez

$3915$ de

$9360$ .

$- 765 \cdot 27 + 9 \cdot 5445 + 0$

Étape 7

Simplifiez le déterminant.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez

$- 765$ par

$27$ .

$- 20655 + 9 \cdot 5445 + 0$

Étape 7.1.2

Multipliez

$9$ par

$5445$ .

$- 20655 + 49005 + 0$

Étape 7.2

Additionnez

$- 20655$ et

$49005$ .

$28350 + 0$

Étape 7.3

Additionnez

$28350$ et

$0$ .

$28350$